Бакалавриат и специалитет
Порядок проведения вступительного испытания по математике (ВШТЭ)
Баллы
39
Вступительное испытание по математике для поступающих на базе профессионального образования содержит профессионально-ориентированные задания в соответствии с направленностью (профилем) образовательных программ среднего профессионального образования, родственных программам бакалавриата, на обучение по которым осуществляется прием.
Вступительный экзамен по математике проводится в виде письменной работы.
- Продолжительность экзамена – 3 часа (180 минут).
- Работа выполняется синей или черной пастой. Записи сделанные карандашом, не допускаются.
- Решение задач желательно сопровождать краткими пояснениями.
- Ответы выписываются дважды: после решения каждой задачи и в сводной таблице, приводимой на четвертой странице чистого двойного листа.
- Каждое задание содержит 12 задач. № 1-6 – задачи-тесты, к каждой из них дается несколько вариантов ответа, из которых верен только один. Каждая задача оценивается в 5 баллов. № 7-10 – задачи первого класса сложности. Каждая задача оценивается в 10 баллов. № 11, 12 – задачи второго класса сложности, одна задача оценивается в 15 баллов.
- Максимальная сумма баллов при полном правильном решении равна 100 баллам (6х5 + 4х10 + 2х15 = 100).
- Пользоваться калькуляторами не разрешается.
Основные математические понятия и факты
- Арифметика, алгебра и начала анализа. Натуральные числа (N). Простые и составные числа. Делитель, кратное. Наибольший общий делитель, наименьшее общее кратное.
- Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10.
- Целые числа (Z). Рациональные числа (Q), их сложение, вычитание, умножение и деление. Сравнение рациональных чисел. Действительные числа (R), их представление в виде десятичных дробей.
- Изображение чисел на прямой. Модуль действительного числа, его геометрический смысл.
- Числовые выражения. Выражения с переменными. Формулы сокращенного умножения.
- Степень с натуральным и рациональным показателем. Арифметический корень.
- Логарифмы, их свойства.
- Одночлен и многочлен.
- Многочлен с одной переменной. Корень многочлена на примере квадратного трехчлена.
- Понятие функции. Способы задания функции. Область определения. Множество значений функции.
- График функции. Возрастание и убывание функции; периодичность, четность, нечетность.
- Достаточное условие возрастания (убывания) функции на промежутке. Понятие экстремума функции. Необходимое условие экстремума функции (теорема Ферма). Достаточное условие экстремума. Наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке.
- Определение и основные свойства функций: линейной, квадратичной y 2 n = ax + bx = c, степенной y = ax (n - натуральное число), y = k / x, x показательной y = a , a > 0, логарифмической, тригонометрических функций (y = sin x , y = cos x; y = tg x, y = ctg x ), арифметического -- корня y = \/ x .
- Уравнение. Корни уравнения. Понятие о равносильных уравнениях.
- Неравенства. Решения неравенства. Понятие о равносильных неравенствах.
- Система уравнений и неравенств. Решения системы.
- Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формула n-го члена и суммы первых n членов арифметической прогрессии. Формула n-го члена и суммы первых n членов геометрической прогрессии.
- Синус и косинус суммы и разности двух аргументов (формулы).
- Преобразование в произведение сумм sin альфа +/- sin бетта; cos альфа +/- cos бетта.
- Определение производной. Ее физический и геометрический смысл.
- Производные функций: x n
- y = sin x; y = cos x; y = tg x; y = a ; y = ax (n - целое число); y = ln x.
- Геометрия. Прямая, луч, отрезок, ломаная; длина отрезка. Угол, величина угла. Вертикальные и смежные углы. Окружность, круг.
- Параллельные прямые.
- Примеры преобразования фигур, виды симметрии. Преобразования подобия и его свойства.
- Векторы. Операции над векторами.
- Многоугольник, его вершины, стороны, диагонали.
- Треугольник. Его медиана, биссектриса, высота. Виды треугольников. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника.
- Четырехугольник: параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция.
- Окружность и круг. Центр, хорда, диаметр, радиус, касательная к окружности. Дуга окружности. Сектор.
- Центральные и вписанные углы.
- Формулы площади: треугольника, прямоугольника, параллелограмма, ромба, квадрата, трапеции.
- Длина окружности и длина дуги окружности. Радианная мера угла. Площадь круга и площадь сектора.
- Подобие. Подобные фигуры. Отношение площадей подобных фигур.
- Плоскость. Параллельные и пересекающиеся плоскости.
- Параллельность прямой и плоскости.
- Угол прямой с плоскостью. Перпендикуляр к плоскости.
- Двугранные углы. Линейный угол двугранного угла.
- Перпендикулярность двух плоскостей.
- Многогранники. Их вершины, грани, диагонали. Прямая и наклонная призмы; пирамиды. Правильная призма и правильная пирамида.
- Параллелепипеды, их виды.
- Фигуры вращения: цилиндр, конус, сфера, шар. Центр, диаметр, радиус сферы и шара. Плоскость, касательная к сфере.
- Формула площади поверхности и объема призмы.
- Формула площади поверхности и объема пирамиды.
- Формула площади поверхности и объема цилиндра.
- Формула площади поверхности и объема конуса.
- Формула объема шара.
- Формула площади сферы.
Основные формулы и теоремы
Алгебра и начала анализа
- Свойства функции y = kx + b и ее график.
- Свойства функции y = k / x и ее график. 2
- Свойства функции y = ax + bx = c и ее график.
- Свойства корней квадратного трехчлена на линейные множители.
- Свойства числовых неравенств.
- Логарифм произведения, степени, частного.
- Определение и свойства функции y = sin x, y = cos x и их графики.
- Определение и свойства функции y = tg x и ее график.
- Определение и свойства функции y = ctg x и ее график.
- Решение уравнений вида sin x = a, cos x = a, tg x = a.
- Формулы приведения.
- Зависимости между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента.
- Тригонометрические функции двойного аргумента.
- Производная сумма двух функций.
Геометрия
- Свойства равнобедренного треугольника.
- Свойства точек, равноудаленных от концов отрезка.
- Признаки параллельности прямых.
- Сумма углов треугольника. Сумма внешних углов выпуклого многоугольника.
- Признаки параллелограмма, его свойства.
- Окружность, описанная около треугольника.
- Окружность, вписанная в треугольник.
- Касательная к окружности и ее свойства.
- Величина угла, вписанного в окружность.
- Признаки подобия треугольника.
- Теорема Пифагора.
- Формулы площадей параллелограмма, треугольника, трапеции.
- Формула расстояния между двумя точками плоскости. Уравнение окружности.
- Признак параллельности прямой и плоскости.
- Признак параллельности плоскостей.
- Теорема перпендикулярности прямой и плоскости.
- Перпендикулярность двух плоскостей.
- Теоремы о параллельности и перпендикулярности плоскостей.
- Теорема о трех перпендикулярах.