Порядок проведения вступительного испытания по математике (ВШТЭ)

Вступительное испытание по математике для поступающих на базе профессионального образования содержит профессионально-ориентированные задания в соответствии с направленностью (профилем) образовательных программ среднего профессионального образования, родственных программам бакалавриата, на обучение по которым осуществляется прием.

Вступительный экзамен по математике проводится в виде письменной работы.

• Продолжительность экзамена – 3 часа (180 минут).
• Работа выполняется синей или черной пастой. Записи сделанные карандашом, не допускаются.
• Решение задач желательно сопровождать краткими пояснениями.
• Ответы выписываются дважды: после решения каждой задачи и в сводной таблице, приводимой на четвертой странице чистого двойного листа.
• Каждое задание содержит 12 задач. № 1-6 – задачи-тесты, к каждой из них дается несколько вариантов ответа, из которых верен только один. Каждая задача оценивается в 5 баллов. № 7-10 – задачи первого класса сложности. Каждая задача оценивается в 10 баллов. № 11, 12 – задачи второго класса сложности, одна задача оценивается в 15 баллов.
• Максимальная сумма баллов при полном правильном решении равна 100 баллам (6х5 + 4х10 + 2х15 = 100).
• Пользоваться калькуляторами не разрешается.

Основные математические понятия и факты

• Арифметика, алгебра и начала анализа. Натуральные числа (N). Простые и составные числа. Делитель, кратное. Наибольший общий делитель, наименьшее общее кратное.
• Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10.
• Целые числа (Z). Рациональные числа (Q), их сложение, вычитание, умножение и деление. Сравнение рациональных чисел. Действительные числа (R), их представление в виде десятичных дробей.
• Изображение чисел на прямой. Модуль действительного числа, его геометрический смысл.
• Числовые выражения. Выражения с переменными. Формулы сокращенного умножения.
• Степень с натуральным и рациональным показателем. Арифметический корень.
• Логарифмы, их свойства.
• Одночлен и многочлен.
• Многочлен с одной переменной. Корень многочлена на примере квадратного трехчлена.
• Понятие функции. Способы задания функции. Область определения. Множество значений функции.
• График функции. Возрастание и убывание функции; периодичность, четность, нечетность.
• Достаточное условие возрастания (убывания) функции на промежутке. Понятие экстремума функции. Необходимое условие экстремума функции (теорема Ферма). Достаточное условие экстремума. Наибольшее и наименьшее значение функции на промежутке.
• Определение и основные свойства функций: линейной, квадратичной y 2 n = ax + bx = c, степенной y = ax (n - натуральное число), y = k / x, x показательной y = a , a > 0, логарифмической, тригонометрических функций (y = sin x , y = cos x; y = tg x, y = ctg x ), арифметического -- корня y = \/ x .
• Уравнение. Корни уравнения. Понятие о равносильных уравнениях.
• Неравенства. Решения неравенства. Понятие о равносильных неравенствах.
• Система уравнений и неравенств. Решения системы.
• Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формула n-го члена и суммы первых n членов арифметической прогрессии. Формула n-го члена и суммы первых n членов геометрической прогрессии.
• Синус и косинус суммы и разности двух аргументов (формулы).
• Преобразование в произведение сумм sin альфа +/- sin бетта; cos альфа +/- cos бетта.
• Определение производной. Ее физический и геометрический смысл.
• Производные функций: x n
• y = sin x; y = cos x; y = tg x; y = a ; y = ax (n - целое число); y = ln x.
• Геометрия. Прямая, луч, отрезок, ломаная; длина отрезка. Угол, величина угла. Вертикальные и смежные углы. Окружность, круг.
• Параллельные прямые.
• Примеры преобразования фигур, виды симметрии. Преобразования подобия и его свойства.
• Векторы. Операции над векторами.
• Многоугольник, его вершины, стороны, диагонали.
• Треугольник. Его медиана, биссектриса, высота. Виды треугольников. Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника.
• Четырехугольник: параллелограмм, прямоугольник, ромб, квадрат, трапеция.
• Окружность и круг. Центр, хорда, диаметр, радиус, касательная к окружности. Дуга окружности. Сектор.
• Центральные и вписанные углы.
• Формулы площади: треугольника, прямоугольника, параллелограмма, ромба, квадрата, трапеции.
• Длина окружности и длина дуги окружности. Радианная мера угла. Площадь круга и площадь сектора.
• Подобие. Подобные фигуры. Отношение площадей подобных фигур.
• Плоскость. Параллельные и пересекающиеся плоскости.
• Параллельность прямой и плоскости.
• Угол прямой с плоскостью. Перпендикуляр к плоскости.
• Двугранные углы. Линейный угол двугранного угла.
• Перпендикулярность двух плоскостей.
• Многогранники. Их вершины, грани, диагонали. Прямая и наклонная призмы; пирамиды. Правильная призма и правильная пирамида.
• Параллелепипеды, их виды.
• Фигуры вращения: цилиндр, конус, сфера, шар. Центр, диаметр, радиус сферы и шара. Плоскость, касательная к сфере.
• Формула площади поверхности и объема призмы.
• Формула площади поверхности и объема пирамиды.
• Формула площади поверхности и объема цилиндра.
• Формула площади поверхности и объема конуса.
• Формула объема шара.
• Формула площади сферы.

Основные формулы и теоремы

Алгебра и начала анализа

• Свойства функции y = kx + b и ее график.
• Свойства функции y = k / x и ее график. 2
• Свойства функции y = ax + bx = c и ее график.
• Свойства корней квадратного трехчлена на линейные множители.
• Свойства числовых неравенств.
• Логарифм произведения, степени, частного.
• Определение и свойства функции y = sin x, y = cos x и их графики.
• Определение и свойства функции y = tg x и ее график.
• Определение и свойства функции y = ctg x и ее график.
• Решение уравнений вида sin x = a, cos x = a, tg x = a.
• Формулы приведения.
• Зависимости между тригонометрическими функциями одного и того же аргумента.
• Тригонометрические функции двойного аргумента.
• Производная сумма двух функций.

Геометрия

• Свойства равнобедренного треугольника.
• Свойства точек, равноудаленных от концов отрезка.
• Признаки параллельности прямых.
• Сумма углов треугольника. Сумма внешних углов выпуклого многоугольника.
• Признаки параллелограмма, его свойства.
• Окружность, описанная около треугольника.
• Окружность, вписанная в треугольник.
• Касательная к окружности и ее свойства.
• Величина угла, вписанного в окружность.
• Признаки подобия треугольника.
• Теорема Пифагора.
• Формулы площадей параллелограмма, треугольника, трапеции.
• Формула расстояния между двумя точками плоскости. Уравнение окружности.
• Признак параллельности прямой и плоскости.
• Признак параллельности плоскостей.
• Теорема перпендикулярности прямой и плоскости.
• Перпендикулярность двух плоскостей.
• Теоремы о параллельности и перпендикулярности плоскостей.
• Теорема о трех перпендикулярах.